如果境外投资项目的备案通知书不慎丢失，可以按照以下步骤尝试补办：

联系原发证机关：首先应该联系初发放备案通知书的商务主管部门或发改委等相关部门，说明情况并询问具体的补办流程和所需材料。

提交补办申请：根据相关部门的要求，填写并提交补办申请表。申请表中应包含企业基本信息、投资项目概述以及备案通知书丢失的原因等。

提供相关证明材料：通常需要提供企业法人营业执照副本、法定代表人身份证明、授权委托书（如果是由代理人办理的话）、已有的境外投资项目资料（如项目合同、董事会决议等），以及其他可能要求的文件以证明投资项目的合法性。

缴纳费用：某些地方可能会收取一定的手续费或工本费，请提前了解清楚并做好准备。

等待审核：提交完所有必要的材料后，相关部门会对申请进行审核。审核通过后，会重新出具新的备案通知书。

领取新证书：审核完成后，根据通知前往指定地点领取新的备案通知书。

在整个过程中，保持与相关部门的良好沟通非常重要，如果有不清楚的地方及时询问，避免因材料不全或不符合要求而耽误时间。同时，也可以关注官网或咨询人士，获取新的操作指南和帮助。